Numărul reprezentat de pi (π) este utilizat în calcule ori de câte ori este vorba de ceva rotund (sau aproape rotund), cum ar fi cercurile, sferele, cilindrii, conurile și elipsele. Valoarea lui pi este necesară pentru a calcula multe cantități importante despre aceste forme, cum ar fi înțelegerea relației dintre raza unui cerc și circumferința și aria acestuia (circumferința=2πr; aria=πr2).

Pi apare, de asemenea, în calculele de determinare a ariei unei elipse și în aflarea razei, suprafeței și volumului unei sfere.

Lumea noastră conține multe obiecte rotunde și aproape rotunde; aflarea valorii exacte a lui pi ne ajută să lucrăm cu ele mai precis - sau chiar să fabricăm astfel de obiecte.

Din punct de vedere istoric, oamenii aveau doar estimări foarte aproximative ale lui pi (cum ar fi 3, 3,12 sau 3,16) și, deși știau că acestea erau estimări, nu aveau nicio idee despre cât de departe puteau fi.

Căutarea valorii exacte a lui pi a dus nu numai la o mai mare precizie, ci și la dezvoltarea unor noi concepte și tehnici, cum ar fi limitele și algoritmii iterativi, care au devenit fundamentale pentru noi domenii ale matematicii.

Găsirea valorii reale a lui pi

Arhimede. Imagine: André Thévet (1584)

În urmă cu 3.000 - 4.000 de ani, oamenii foloseau aproximări ale valorii lui pi obținute prin încercări și erori, fără a face calcule care să ia în considerare posibilele erori. Primele aproximări scrise ale valorii lui pi sunt 3,125 în Babilon (1900-1600 î.Hr.) și 3,1605 în Egiptul antic (1650 î.Hr.). Ambele aproximări încep cu 3,1 - foarte aproape de valoarea reală, dar încă relativ departe.

În jurul anului 265 d.Hr., matematicianul chinez Liu Hui a creat un algoritm iterativ bazat pe poligoane simple. El a propus o metodă de aproximare foarte rapidă și eficientă, care a oferit patru cifre exacte pentru valoarea lui pi. Mai târziu, în jurul anului 480 d.Hr., Zu Chongzhi a adoptat metoda lui Liu Hui și a obținut o precizie de șapte cifre. Acest record al lui Liu Hui a durat încă 800 de ani.

Metoda lui Arhimede de a calcula pi implica poligoane cu tot mai multe laturi. Imagine: Leszek Krupinski, CC BY-SA

În 1630, astronomul austriac Christoph Grienberger a ajuns la 38 de cifre, care reprezintă cea mai precisă aproximație obținută manual cu ajutorul algoritmilor poligonali.

Depășirea poligoanelor

Metoda lui Liu Hui de calcul a lui pi a folosit, de asemenea, poligoane, dar într-un mod ușor diferit. Imagine: Gisling și Pbroks13, CC BY-SA

Dezvoltarea tehnicilor seriilor infinite în secolele al XVI-lea și al XVII-lea a sporit considerabil capacitatea oamenilor de a calcula pi mai eficient. O serie infinită este suma (sau, mult mai rar, produsul) termenilor unei secvențe infinite, cum ar fi ½, ¼, 1/8, 1/16, ... 1 / (2n). Prima descriere scrisă a unei serii infinite care ar putea fi folosită pentru a calcula pi a fost prezentată înVersuri în sanscrită ale astronomului indian Nilakantha Somayaji din jurul anului 1500 d.Hr., a căror dovadă a fost prezentată în jurul anului 1530.

În 1665, matematicianul și fizicianul englez Isaac Newton a folosit serii infinite pentru a calcula pi până la 15 cifre, folosind metoda de calcul pe care el și matematicianul german Gottfried Wilhelm Leibniz au descoperit-o. Ulterior, recordul a continuat să fie doborât. A ajuns la 71 de cifre în 1699, 100 de cifre în 1706 și 620 de cifre în 1956 - cea mai bună aproximare obținută fără ajutorul unui calculator sau al unui computer.

Sir Isaac Newton. Imagine: Wellcome Trust, CC BY

În paralel cu aceste calcule, matematicienii cercetau și alte caracteristici ale lui pi. Matematicianul elvețian Johann Heinrich Lambert (1728-1777) a demonstrat pentru prima dată că pi este un număr irațional - are un număr infinit de cifre care nu intră niciodată într-un tipar repetitiv. În 1882, matematicianul german Ferdinand von Lindemann a demonstrat că pi NU poate fi exprimat într-o ecuație algebrică rațională(cum ar fi pi² = 10 sau 9pi4 - 240pi2 + 1492 = 0).

Spre tot mai multe cifre ale lui pi

După adoptarea algoritmilor iterativi, care construiesc în mod repetat o valoare actualizată folosind un calcul efectuat asupra valorii anterioare, a urmat o creștere mare a calculelor până la un număr și mai mare de cifre ale lui pi. Un exemplu simplu de algoritm iterativ permite aproximarea rădăcinii pătrate a lui 2, după cum urmează, folosind formula (x + 2 / x) / 2:

Carl Louis Ferdinand von Lindemann.

(2+2/2)/2 = 1,5;

(1.5+2/1,5)/2 = 1,4167;

(1,4167+ 2/1,4167)/2 = 1,4142, ceea ce reprezintă deja o aproximare foarte precisă.

Progresele în direcția obținerii mai multor cifre pentru pi au venit odată cu utilizarea unui algoritm similar algoritmului lui Machin (o generalizare a formulei matematicianului englez John Machin, dezvoltată în 1706) și a algoritmului Gauss-Legendre (sfârșitul secolului al XVIII-lea) în calculatoarele electronice (inventate la mijlocul secolului al XX-lea). În 1946, ENIAC, primul calculator electronic de uz general, a calculat 2,037Un calcul mai recent a găsit mai mult de 13 trilioane de cifre pi în 208 zile!

A fost acceptat pe scară largă că pentru majoritatea calculelor numerice care implică pi, o duzină de cifre oferă o precizie suficientă. Potrivit matematicienilor Jörg Arndt și Christoph Haenel, 39 de cifre sunt suficiente pentru a efectua majoritatea calculelor cosmologice, deoarece aceasta este precizia necesară pentru a calcula totul, de la circumferința universului observabil la diametrul unui atom. În plusÎn plus, mai multe cifre ale lui pi nu au o utilitate practică în calcule; în schimb, în prezent, căutarea mai multor cifre ale lui pi este destinată testării supercomputerelor și a algoritmilor de analiză numerică.

Calculați pi singur

Există, de asemenea, metode simple și amuzante de estimare a valorii lui pi. Una dintre cele mai cunoscute este o metodă numită "Monte Carlo".

Un pătrat cu un cerc înscris

Metoda este destul de simplă. Pentru a o încerca acasă, desenați pe o bucată de hârtie un cerc și un pătrat în jurul acestuia (așa cum se arată în stânga). Imaginați-vă că laturile pătratului au lungimea de 2, deci aria sa este 4; diametrul cercului este deci 2, iar aria sa este pi (A= πr2, (π.(2)2 )/4, ceea ce rezultă π). Raportul dintre ariile lor este pi / 4, adică aproximativ 0,7854.

Acest lucru înseamnă că, dacă alegeți N puncte la întâmplare în interiorul pătratului, aproximativ N * pi / 4 din aceste puncte trebuie să se încadreze în cerc.

Sau, altfel spus: închideți ochii și plasați la întâmplare puncte în pătrat. Dacă faceți acest lucru de destule ori și dacă eforturile dvs. sunt cu adevărat aleatorii, în cele din urmă, procentul de ori în care punctul dvs. ajunge în interiorul cercului se va apropia de 78,54% - sau 0,7854.

Acest program alege la întâmplare puncte din interiorul pătratului, apoi verifică dacă punctul se află în interiorul cercului (știe că se află în interiorul cercului dacă x 2+ y 2 Dar dacă nu doriți să folosiți programul de mai sus, aruncați la întâmplare stiloul în interiorul tabloului și numărați de câte ori a căzut în interiorul cercului și câte puncte au fost alese (total puncte).

Pi se calculează apoi aproximativ după cum urmează:

4*M

Pi = ---

N

Deși metoda Monte Carlo este adesea utilă pentru rezolvarea problemelor din fizică și matematică care nu pot fi rezolvate prin mijloace analitice, este o metodă destul de lentă de calculare a lui pi. Pentru a calcula fiecare cifră semnificativă, va trebui să se efectueze de aproximativ 10 ori mai multe încercări decât pentru a calcula cifra semnificativă anterioară.

Oricum, acum te-ai alăturat rândurilor matematicienilor care au calculat pi pro ei înșiși de-a lungul timpului.