Hejmara ku bi pi (π) tê temsîl kirin di hesaban de tê bikar anîn dema ku tiştek dor (an jî hema wusa) tê de tê bikar anîn, wek çember, qawîş, silindir, kon, û elîps. Nirxa pi ji bo hesabkirina gelek mîqdarên girîng ên derbarê van şeklan de hewce ye, wek têgihîştina têkiliya di navbera tîrêja çemberekê û derdora wê û qada wê (circumference=2πr; herêm=πr2).

Pi jî di Hesabên ji bo diyarkirina qada elîpsê û ji bo dîtina tîrêj, rûber û qebareya qapekê.

Di cîhana me de gelek tiştên dor û nêzîkî dor hene; dîtina nirxa tam a pi ji me re dibe alîkar ku em bi wan re rasttir bixebitin - an tewra jî tiştên weha çêkin.

Di dîrokê de, mirovan tenê texmînên pir hişk ên pi (wek 3, an 3.12, an 3,16) hebûn, û dema ku wan dizanibû ku ev texmîn in, wan nizanibû ku ew dikarin çiqas dûr bin.

Lêgerîna li nirxa rastîn a pi ne tenê berbi rastbûnek mezintir, lê her weha rê li pêşkeftina têgeh û teknîkên nû vekir, wek mînak. sînor û algorîtmayên dubare, yên ku bûne bingehîn ji bo qadên nû yên matematîkê.

Dîtina nirxa rastîn a pi

Arşîmed. Wêne: André Thévet (1584)

Di navbera 3,000 û 4,000 sal berê de, mirovan nêzîkatiyên nirxa pi yên ku bi ceribandin û xeletiyê hatine wergirtin bikar anîn, bêyî ku hesabên xeletiyên gengaz bikin. Ya yekemNêzîkbûnên nivîskî yên nirxa pi li Babîlê (1900-1600 BZ) 3.125 û li Misrê kevnar (1650 BZ) 3.1605 in. Herdu nêzîkatî bi 3.1-ê dest pê dikin — pir nêzîkî nirxa rastîn, lê dîsa jî nisbeten dûr e.

Nêzîkî 265 PZ, matematîkzanê Çînî Liu Hui algorîtmayek dubarekirî li ser bingehê pirgoşeyên hêsan çêkir. Wî rêbazek nêzîkbûnek pir zû û bikêr pêşniyar kir, ku nirxa pi çar jimarek rastîn da. Dûv re, li dora 480 PZ, Zu Chongzhi rêbaza Liu Hui pejirand û heft hejmarên rastbûnê bi dest xist. Ev qeyda Liu Hui 800 salên din dom kir.

Rêbaza Arşîmedes a hesabkirina pi, pirgoşeyên ku her ku diçe zêdetir alî hene. Wêne: Leszek Krupinski, CC BY-SA

Di sala 1630-an de, stêrnasê Avusturyayî Christoph Grienberger gihîşt 38 reqeman, ku nêzîkbûna herî rast e ku bi destan bi algorîtmayên pirgonîkî ve hatî wergirtin.

Li derveyî pirgoşeyan diçin

Rêbaza Liu Hui ya hesabkirina pi jî pirgotan bikar tîne, lê bi rengek piçûktir. Wêne: Gisling û Pbroks13, CC BY-SA

Pêşketina teknîkên rêzikên bêsînor di sedsalên 16-an û 17-an de şiyana mirovan ya ji bo hesabkirina pi bi bandortir pir zêde kir. Rêzeya bêdawî berhevoka (an pir kêmtir, berhema) şertên rêzek bêdawî ye, wek ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1 / (2n). Danasîna yekem a nivîskî yazincîreke bêdawî ya ku ji bo hesabkirina pi dikare were bikar anîn di ayeta Sanskrîtî de ji hêla stêrnasê Hindî Nilakantha Somayaji ve li dora sala 1500 PZ hate pêşkêş kirin. C., îspata vê li dora sala 1530 hate pêşkêş kirin.

Di sala 1665-an de, matematîkzan û fîzîknasê Îngîlîzî Isaac Newton rêzikên bêdawî bikar anî da ku pi bi 15 reqeman bihejmêre bi rêbaza hesabkirinê ya ku wî û matematîkzanê Alman Gottfried Wilhelm Leibniz keşf kirin. Piştî vê yekê rekor berdewam kir. Ew di sala 1699-an de gihîştiye 71 reqeman, di 1706-an de 100 reqeman û di 1956-an de gihîştiye 620 reqeman - nêzîkbûna herî çêtirîn ku bêyî alîkariya hesabker an komputerê hatî peyda kirin.

Sir Isaac Newton. Wêne: Wellcome Trust, CC BY

Li gel van hesaban, matematîkzan li taybetmendiyên din ên pi lêkolîn dikirin. Matematîkzanê Swîsrî Johann Heinrich Lambert (1728-1777) yekem car îsbat kir ku pi jimarek neraksiyonel e - hejmareke bêdawî ya reqeman heye ku qet nakeve qalibek dubare. Di sala 1882 de, matematîkzanê alman Ferdinand von Lindemann îspat kir ku pi NIKARE di hevkêşeyek cebrî ya rasyonel de (wek pi² = 10 an 9pi4 – 240pi2 + 1492 = 0) were diyar kirin.

Ber bi hêjmarên pi

Mezinbûnek mezin di hesaban de ji bo hêj bêtir hêjmarên pi-yê piştî pejirandina algorîtmayên dubarekirî, yên ku bi karanîna hesabek ku li ser nirxa berê hatî kirin çend caran nirxek nûvekirî ava dikin. Mînakek hêsan aAlgorîtmaya dubare rê dide ku koka çargoşe ya 2-ê bi vî rengî, bi karanîna formula (x + 2 / x) / 2 nêzikî nêzîk bike:

Carl Louis Ferdinand von Lindemann.

(2+ 2/2)/2 = 1,5;

(1,5+2/1,5)/2 = 1,4167;

(1,4167+ 2/1,4167)/2 = 1,4142, ku jixwe nêzîkbûnek pir rast e.

Pêşveçûn ber bi hêjmarên zêdetir ji bo pi bi karanîna algorîtmayek mîna algorîtmaya Machin (giştîkirina formula ji hêla matematîkzanê îngilîz John Machin ve di sala 1706-an de hatî pêşve xistin) û algorîtmaya ji Gauss-Legendre (dawiya sedsala 18-an) ber bi komputerên elektronîkî ve hat. (di nîvê sedsala 20-an de hate îcadkirin). Di sala 1946 de, ENIAC, komputera elektronîkî ya yekem a armanca gelemperî, di 70 demjimêran de 2037 hejmarên pi hesab kirin. Hesabek nûtir di 208 rojan de zêdetirî 13 trîlyon hejmarên pi dît!

Bi gelemperî hate pejirandin ku ji bo piraniya hesabên hejmarî yên ku pi tê de ne, bi dehan jimar rastbûna têr peyda dikin. Li gorî matematîkzan Jörg Arndt û Christoph Haenel, 39 reqem ji bo pêkanîna piraniya hesabên kozmolojîk têrê dikin, ji ber ku ew rastbûna hewce ye ji bo hesabkirina her tiştî ji derdora gerdûna çavdêrîkirî bigire heya qeraxa atomê. Di heman demê de, bêtir hejmarên pi di hesaban de karanîna pratîkî ne; di şûna wê de, îro lêgerîna ji bo hêjmarên pi zêdetir ji bo ceribandina superkomputer û algorîtmayên analîza hejmarî ye.

Hesabkirina wê bixwepi

Ji bo texmînkirina nirxa pi jî rêbazên kêf û hêsan hene. Yek ji yên herî naskirî rêbazeke bi navê "Monte Carlo" ye.

Quqarek bi xeleka niviskirî

Rêbaz pir hêsan e. Ji bo ku hûn li malê biceribînin, li ser kaxezek dor û çargoşeyekê (wek ku li milê çepê tê xuyang kirin) xêz bikin. Bifikirin ku aliyên çargoşe dirêjî 2 ne, ji ber vê yekê qada wê 4 e; Ji ber vê yekê pîvana çemberê 2 ye û qada wê pi ye (A= πr2, (π.(2)2 )/4, ku di encamê de π). Rêjeya qadên wan pi / 4 e, an jî bi qasî 0,7854 e.

Ev tê wê wateyê ku heke hûn bi rasthatinî N xalên di hundurê çargoşeyê de hilbijêrin, bi qasî N * pi / 4 ji wan xalan divê bikeve hundurê çemberê.

Di yên din de peyv: çavên xwe bigrin û bi awayekî bêhemdî xalan li çarşiyê bixin. Ger hûn bi têra xwe vê yekê bikin, û heke hewildanên we bi rastî rasthatî bin, di dawiyê de rêjeya carên ku xala we di hundurê çemberê de ye dê nêzîkê %78,54 bibe – ango 0,7854.

Ev bername xalan bi rasthatinî li çargoşeyê hildibijêre. Dûv re ew kontrol dike ka xal di hundurê çemberê de ye (dizane ku ew di hundurê çemberê de ye heke x 2+ y 2 Lê heke hûn nexwazin bernameya jorîn bikar bînin, pênûsê bi rengekî bêserûber bavêjin hundurê çarçoveyê û çend hejmartin car diket hundirê çemberê û çend xal hatine bijartin (tevahiya xal).

Pi wê demê yebi qasî li jêr tê hesibandin:

4*M

Pi = ——–

N

Her çend rêbaza Monte Carlo bi gelemperî ji bo çareserkirina pirsgirêkan bikêr e. fizîk û matematîk ku bi rêyên analîtîk nayên çareser kirin, ev rêbazek pir hêdî ya hesabkirina pi ye. Hesabkirina her reqemek girîng dê bi qasî 10 qat hewildanên ji hesabkirina jimareya girîng a berê bigire.

Lê, hûn niha ketine nav rêza matematîkzanên ku bi temen re ji xwe re pi hesab kirine.