Sadržaj
Broj predstavljen pi (π) koristi se u izračunima kad god je uključeno nešto okruglo (ili približno tako), kao što su krugovi, sfere, cilindri, stošci i elipse. Vrijednost pi je potrebna za izračun mnogih važnih veličina o ovim oblicima, kao što je razumijevanje odnosa između polumjera kruga i njegovog opsega i površine (opseg=2πr; površina=πr2).
Pi se također pojavljuje u izračune za određivanje površine elipse i pronalaženje polumjera, površine i volumena sfere.
Naš svijet sadrži mnogo okruglih i gotovo okruglih predmeta; pronalaženje točne vrijednosti pi pomaže nam da točnije radimo s njima — ili čak proizvodimo takve predmete.
Povijesno gledano, ljudi su imali samo vrlo grube procjene pi (poput 3, ili 3,12, ili 3,16), i iako su znali da su to procjene, nisu imali pojma koliko daleko mogu biti.
Potraga za točnom vrijednošću pi dovela je ne samo do veće točnosti, već i do razvoja novih koncepata i tehnika, kao što su ograničenja i iterativni algoritmi, koji su postali temeljni za nova područja matematike.
Pronalaženje stvarne vrijednosti pi
Arhimed. Slika: André Thévet (1584.)
Između 3 000 i 4 000 godina, ljudi su koristili aproksimacije vrijednosti pi dobivene metodom pokušaja i pogrešaka, bez ikakvih izračuna kako bi objasnili moguće pogreške. PrviPisane aproksimacije vrijednosti pi su 3,125 u Babiloniji (1900-1600 pr. Kr.) i 3,1605 u starom Egiptu (1650 pr. Kr.). Obje aproksimacije počinju s 3,1 — vrlo blizu prave vrijednosti, ali još uvijek relativno daleko.
Oko 265. godine nove ere, kineski matematičar Liu Hui stvorio je iterativni algoritam temeljen na jednostavnim poligonima. Predložio je vrlo brzu i učinkovitu metodu aproksimacije, koja je dala vrijednost pi s precizne četiri znamenke. Kasnije, oko 480. godine nove ere, Zu Chongzhi je usvojio Liu Huijevu metodu i postigao sedam znamenki točnosti. Ovaj zapis Liu Huija trajao je još 800 godina. 
Arhimedova metoda izračuna pi uključivala je poligone sa sve više stranica. Slika: Leszek Krupinski, CC BY-SA
Godine 1630., austrijski astronom Christoph Grienberger došao je do 38 znamenki, što je najtočnija aproksimacija ručno dobivena korištenjem poligonalnih algoritama.
Nadilazeći poligone
Liu Huijeva metoda izračuna pi također je koristila poligone, ali na nešto drugačiji način. Slika: Gisling i Pbroks13, CC BY-SA
Razvoj tehnika beskonačnih nizova u 16. i 17. stoljeću uvelike je povećao sposobnost ljudi da učinkovitije izračunaju pi. Beskonačni niz je zbroj (ili mnogo rjeđe, umnožak) članova beskonačnog niza, kao što su ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1 / (2n). Prvi pisani opisIndijski astronom Nilakantha Somayaji oko 1500. godine nove ere predstavio je beskonačni niz koji se može koristiti za izračunavanje broja pi na sanskrtu. C., dokaz za to predstavljen je oko 1530.
Godine 1665. engleski matematičar i fizičar Isaac Newton upotrijebio je beskonačne nizove za izračunavanje pi do 15 znamenki koristeći metodu izračuna koju su on i njemački matematičar Gottfried Wilhelm Leibniz otkrili. Nakon toga rekord se nastavio rušiti. Dosegao je 71 znamenku 1699., 100 znamenki 1706. i 620 znamenki 1956. — najbolja aproksimacija dobivena bez pomoći kalkulatora ili računala. 
Sir Isaac Newton. Slika: Wellcome Trust, CC BY
U vezi s ovim izračunima, matematičari su istraživali druge značajke broja pi. Švicarski matematičar Johann Heinrich Lambert (1728.-1777.) prvi je dokazao da je pi iracionalan broj — ima beskonačan broj znamenki koje se nikada ne ponavljaju. Godine 1882. njemački matematičar Ferdinand von Lindemann dokazao je da se pi NE MOŽE izraziti u racionalnoj algebarskoj jednadžbi (kao što je pi² = 10 ili 9pi4 – 240pi2 + 1492 = 0).
Prema sve više i više znamenki pi
Veliki rast u izračunima za još više znamenki broja pi uslijedio je nakon usvajanja iterativnih algoritama, koji opetovano konstruiraju ažuriranu vrijednost pomoću izračuna izvršenog na prethodnoj vrijednosti. Jednostavan primjer aIterativni algoritam omogućuje aproksimaciju kvadratnog korijena iz 2 na sljedeći način, koristeći formulu (x + 2 / x) / 2:
Carl Louis Ferdinand von Lindemann.
(2+ 2/2)/2 = 1,5;
(1,5+2/1,5)/2 = 1,4167;
(1,4167+ 2/1,4167)/2 = 1,4142, što je već vrlo točna aproksimacija.
Napredak prema većem broju znamenki za pi došao je upotrebom algoritma sličnog Machinovom algoritmu (generalizacija formule engleskog matematičara Johna Machina koju je razvio 1706.) i algoritma od Gauss-Legendrea (kasno 18. stoljeće) do elektroničkih računala (izumljen sredinom 20. stoljeća). Godine 1946. ENIAC, prvo elektroničko računalo opće namjene, izračunalo je 2037 znamenki broja pi u 70 sati. Noviji izračun otkrio je više od 13 trilijuna znamenki broja pi u 208 dana!
Opće je prihvaćeno da za većinu numeričkih izračuna koji uključuju pi, desetak znamenki osigurava dovoljnu točnost. Prema matematičarima Jörgu Arndtu i Christophu Haenelu, 39 znamenki dovoljno je za izvođenje većine kozmoloških izračuna, jer je to preciznost potrebna za izračunavanje svega, od opsega vidljivog svemira do promjera atoma. Također, više znamenki pi nije od praktične koristi u izračunima; umjesto toga, danas je potraga za više znamenki broja pi za testiranje superračunala i algoritama numeričke analize.
Izračunajte samipi
Također postoje zabavne i jednostavne metode za procjenu vrijednosti pi. Jedna od najpoznatijih je metoda pod nazivom “Monte Carlo”.
Kvadrat s upisanom kružnicom
Metoda je vrlo jednostavna. Da biste to isprobali kod kuće, nacrtajte krug i kvadrat oko njega (kao što je prikazano lijevo) na komadu papira. Zamislite da su stranice kvadrata duljine 2, pa je njegova površina 4; Promjer kruga je dakle 2, a njegova površina je pi (A= πr2, (π.(2)2 )/4, što rezultira π). Omjer njihovih površina je pi / 4, ili oko 0,7854.
To znači da ako nasumično odaberete N točaka unutar kvadrata, približno N * pi / 4 tih točaka treba pasti unutar kruga.
U drugim riječi: zatvorite oči i nasumično stavite točkice u kvadrat. Ako ovo učinite dovoljno puta i ako su vaši napori doista nasumični, na kraju će se postotak puta kada je vaša točka sletjela unutar kruga približiti 78,54% – ili 0,7854.
Ovaj program nasumično bira točke unutar kvadrata. Zatim provjerava je li točka unutar kruga (zna da je unutar kruga ako je x 2+ y 2
Pi je tadapribližno izračunato na sljedeći način:
4*M
Pi = ——–
N
Iako je Monte Carlo metoda često korisna za rješavanje problema u fizike i matematike koje se ne mogu riješiti analitičkim putem, ovo je prilično spora metoda izračuna pi. Za izračunavanje svake značajne znamenke trebat će oko 10 puta više pokušaja nego za izračunavanje prethodne značajne znamenke.
U svakom slučaju, sada ste se pridružili redovima matematičara koji su stoljećima sami izračunavali pi.
