luach pi

  • Roinn Seo
Ricky Joseph

Bithear a’ cleachdadh an àireamh a tha air a riochdachadh le pi (π) ann an àireamhachadh nuair a bhios rudeigin cruinn (no cha mhòr mar sin) an sàs, leithid cearcallan, raointean, siolandairean, cònaichean is ellipses. Tha luach pi a dhìth gus iomadh tomhas cudromach obrachadh a-mach mu na cumaidhean sin, leithid a bhith a’ tuigsinn a’ cheangail eadar radius cearcall agus a chearcall-thomhas agus an raon (circumference=2πr; area=πr2).

Pi cuideachd tha e a’ nochdadh ann an àireamhachadh gus farsaingeachd ellipse a dhearbhadh agus ann a bhith a’ lorg radius, farsaingeachd uachdar, agus tomhas-lìonaidh cruinne.

Tha mòran de nithean cruinn is cha mhòr cruinn anns an t-saoghal againn; cuidichidh lorg dearbh luach pi sinn le bhith ag obair leotha ann an dòigh nas cinntiche — no fiù 's a' dèanamh rudan mar sin.

Gu h-eachdraidheil, cha robh aig daoine ach tuairmsean glè gharbh air pi (mar 3, no 3.12, neo 3,16), agus ged a bha fios aca gur e tuairmsean a bha seo, cha robh fios aca dè cho fada air falbh a dh'fhaodadh iad a bhith.

Tha rannsachadh airson dearbh luach pi air leantainn chan ann a-mhàin gu barrachd mionaideachd, ach cuideachd gu leasachadh bun-bheachdan agus dòighean ùra, leithid crìochan agus algoirmean ath-aithriseach, a thàinig gu bhith bunaiteach do raointean ùra de mhatamataig.

A' lorg fìor luach pi

Archimedes. Ìomhaigh: André Thévet (1584)

Eadar 3,000 agus 4,000 bliadhna air ais, chleachd daoine tuairmsean de luach pi a fhuaireadh tro dheuchainn agus mearachd, gun a bhith a’ dèanamh àireamhachadh sam bith airson cunntas a thoirt air mearachdan a dh’ fhaodadh a bhith ann. A 'chiadIs e tuairmsean sgrìobhte de luach pi 3.125 ann am Babylonia (1900-1600 RC) agus 3.1605 san t-seann Èiphit (1650 RC). Bidh an dà thuairmse a’ tòiseachadh aig 3.1 — glè fhaisg air an fhìor luach, ach fhathast an ìre mhath fada air falbh.

Timcheall air 265 AD, chruthaich am matamataigs Sìonach Liu Hui algairim ath-aithriseach stèidhichte air polygonan sìmplidh. Mhol e dòigh tuairmseachaidh fìor luath agus èifeachdach, a thug ceithir àireamhan mionaideach do luach pi. Nas fhaide air adhart, timcheall air 480 AD, ghabh Zu Chongzhi ri modh Liu Hui agus choilean e seachd àireamhan de mhearachd. Mhair an clàr seo le Liu Hui airson 800 bliadhna eile.

Bha dòigh Archimedes airson àireamhachadh pi a’ gabhail a-steach polygons le barrachd is barrachd thaobhan. Ìomhaigh: Leszek Krupinski, CC BY-SA

Ann an 1630, ràinig an speuradair às an Ostair Christoph Grienberger 38 meuran-aireamh, is e sin an tuairmse tuairmseach as cinntiche a gheibhear le làimh a’ cleachdadh algoirmean polygonal.

A’ gluasad nas fhaide na polygons

<6

Chleachd dòigh Liu Hui air àireamhachadh pi cuideachd polygons, ach ann an dòigh beagan eadar-dhealaichte. Ìomhaigh: Gisling agus Pbroks13, CC BY-SA

Le bhith a’ leasachadh dhòighean sreath gun chrìoch san 16mh agus san 17mh linn air àrdachadh mòr a thoirt air comas dhaoine pi obrachadh a-mach nas èifeachdaiche. Is e sreath neo-chrìochnach an t-suim (no mòran nas lugha de chumantas, toradh) teirmean sreath neo-chrìochnach, leithid ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1 / (2n). A’ chiad tuairisgeul sgrìobhte airchaidh sreath neo-chrìochnach a chleachdadh gus pi a thomhas a thaisbeanadh ann an rann Sanskrit leis an reul-eòlaiche Innseanach Nilakantha Somayaji timcheall air a’ bhliadhna 1500 AD. C., chaidh dearbhadh air seo a thaisbeanadh timcheall air 1530.

Ann an 1665, chleachd am matamataigs agus fiosaig Sasannach Isaac Newton sreath neo-chrìochnach gus pi gu 15 figear a thomhas a’ cleachdadh an dòigh àireamhachaidh a lorg e fhèin agus am matamataigear Gearmailteach Gottfried Wilhelm Leibniz. Às deidh sin, chaidh an clàr a bhriseadh. Ràinig e 71 figear ann an 1699, 100 figear ann an 1706 agus 620 figear ann an 1956 — an tuairmse a b’ fheàrr a fhuaireadh às aonais taic àireamhair no coimpiutair.

Sir Isaac Newton. Ìomhaigh: Urras Wellcome, CC BY

An co-bhonn ris an àireamhachadh seo, bha luchd-matamataig a’ rannsachadh feartan eile de pi. Dhearbh neach-matamataig às an Eilbheis Johann Heinrich Lambert (1728-1777) an-toiseach gur e àireamh neo-reusanta a th’ ann am pi - tha àireamh neo-chrìochnach de dh’ àireamhan ann nach tèid a-steach do phàtran ath-aithris. Ann an 1882, dhearbh am matamataigear Gearmailteach Ferdinand von Lindemann nach CHAN EIL pi a chur an cèill ann an co-aontar ailseabra reusanta (mar pi² = 10 no 9pi4 – 240pi2 + 1492 = 0).

A dh’ ionnsaigh barrachd is barrachd àireamhan de pi

Fàs mòr ann an àireamhachadh airson eadhon barrachd àireamhan de pi às deidh gabhail ri algorithms ath-aithriseach, a bhios a-rithist a’ togail luach ùraichte a’ cleachdadh àireamhachadh a chaidh a dhèanamh air an luach roimhe. Eisimpleir shìmplidh aTha algairim ath-aithriseach a’ ceadachadh freumh ceàrnagach 2 a thomhas mar a leanas, a’ cleachdadh na foirmle (x + 2 / x) / 2:

Carl Louis Ferdinand von Lindemann.

(2+ 2/2)/2 = 1.5;

(1.5+2/1.5)/2 = 1.4167;

(1.4167+ 2/1.4167)/2 = 1.4142, a tha mar-thà na tuairmse tuairmseach fìor cheart.

Thàinig adhartasan a dh’ionnsaigh barrachd àireamhan airson pi le bhith a’ cleachdadh algairim coltach ri algairim Machin (coitcheann air an fhoirmle leis an neach-matamataig Sasannach John Machin a chaidh a leasachadh ann an 1706) agus an algairim bho Gauss-Legendre (deireadh an 18mh linn) gu coimpiutairean dealanach (air a chruthachadh ann am meadhan an 20mh linn). Ann an 1946, rinn an ENIAC, a’ chiad choimpiutair dealanach adhbhar coitcheann, cunntas air 2,037 figear pi ann an 70 uair. Lorg àireamhachadh nas ùire còrr air 13 trillean àireamhan de pi ann an 208 latha!

Thathas air gabhail ris gu farsaing, airson a’ mhòr-chuid de àireamhachadh le pi, gu bheil dusan digit a’ toirt seachad cruinneas gu leòr. A rèir luchd-matamataig Jörg Arndt agus Christoph Haenel, tha 39 àireamhan gu leòr airson a’ mhòr-chuid de àireamhachadh cosmological a dhèanamh, oir is e sin an cruinneas a dh’ fheumar gus a h-uile càil obrachadh a-mach bho chearcall-thomhas na cruinne faicsinneach gu trast-thomhas dadam. Cuideachd, chan eil barrachd àireamhan de pi gu feum ann an àireamhachadh; an àite sin, an-diugh thathar a' sireadh barrachd àireamhan pi airson a bhith a' dèanamh deuchainn air sàr-choimpiutairean agus algoirmean anailis àireamhach.

A' obrachadh a-mach e fhèinpi

Tha dòighean spòrsail is sìmplidh ann cuideachd airson luach pi a thomhas. Is e aon den fheadhainn as ainmeil dòigh air a bheil “Monte Carlo”.

Ceàrnag le cearcall sgrìobhte

Tha an dòigh gu math sìmplidh. Gus feuchainn aig an taigh, tarraing cearcall agus ceàrnag timcheall air (mar a chithear air an taobh chlì) air pìos pàipear. Smaoinich gu bheil taobhan na ceàrnaig de dh'fhaid 2, agus mar sin tha an sgìre aice 4; Mar sin 's e 2 trast-thomhas a' chearcaill, agus 's e pi (A = πr2, (π.(2)2 )/4, a tha a' ciallachadh π) an sgìre aige. 'S e pi / 4 an co-mheas de na raointean aca, neo mu 0.7854.

Tha seo a' ciallachadh ma thogas tu N puingean air thuaiream taobh a-staigh na ceàrnaig, gum bu chòir mu N * pi / 4 de na puingean sin tuiteam am broinn a' chearcaill.

Ann an àiteachan eile faclan: dùin do shùilean agus cuir dotagan air thuaiream sa cheàrnag. Ma nì thu seo amannan gu leòr, agus ma tha na h-oidhirpean agad air thuaiream, mu dheireadh thig an àireamh sa cheud de thursan a thàinig do dot air tìr taobh a-staigh a’ chearcaill faisg air 78.54% – no 0.7854.

Taghaidh am prògram seo dotagan air thuaiream taobh a-staigh na ceàrnaig. An uairsin nì e sgrùdadh a bheil an dot am broinn a’ chearcaill (tha fios gu bheil e am broinn a’ chearcaill ma tha x 2+ y 2 Ach mura h-eil thu airson am prògram gu h-àrd a chleachdadh, leig às am peann air thuaiream taobh a-staigh an fhrèam agus cunnt cia mheud uair a laigheas e am broinn a' chearcaill agus cia mheud puing a chaidh a thaghadh (puingean iomlan).

Tha Pi an uair sinair a thomhas mar a leanas:

4*M
Pi = ——–
N

Ged a tha modh Monte Carlo gu tric feumail airson fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan ann an fiosaig agus matamataig nach gabh fuasgladh le dòighean anailis, is e dòigh caran slaodach a tha seo airson pi. Bheir coimpiutaireachd gach figear shusbainteach timcheall air 10 uiread oidhirpean 's a thathar ag obrachadh a-mach an fhigear chudromach a bh' ann roimhe.

Co-dhiù, tha thu a-nis air a dhol còmhla ris na h-ìrean de luchd-matamataig a tha air pi obrachadh a-mach dhaibh fhèin sìos na h-aoisean.

|

Tha Ricky Joseph na neach-sireadh eòlais. Tha e gu làidir den bheachd, tro bhith a’ tuigsinn an t-saoghail mun cuairt oirnn, gun urrainn dhuinn obrachadh gus sinn fhèin agus ar comann-sòisealta gu h-iomlan a leasachadh. Mar sin, tha e air a dhèanamh mar mhisean a bheatha a bhith ag ionnsachadh nas urrainn dha mun t-saoghal agus a luchd-còmhnaidh. Tha Iòsaph air obair ann an iomadh raon, agus iad uile ag amas air a chuid eòlais adhartachadh. Tha e air a bhith na thidsear, na shaighdear, agus na fhear-gnìomhachais - ach tha fìor dhìoghras aige ann an rannsachadh. Tha e an-dràsta ag obair mar neach-saidheans rannsachaidh airson prìomh chompanaidh chungaidh-leigheis, far a bheil e gu sònraichte airson leigheasan ùra a lorg airson galairean a tha air a bhith air am meas o chionn fhada do-leigheas. Tro dìcheall agus obair chruaidh, tha Ricky Joseph air a thighinn gu bhith mar aon de na prìomh eòlaichean air cungaidh-leigheis agus ceimigeachd cungaidh-leigheis san t-saoghal. Tha an t-ainm aige aithnichte le luchd-saidheans anns a h-uile àite, agus tha an obair aige a 'leantainn air adhart a' leasachadh beatha nam milleanan.