Pi:n (π) esittämää lukua käytetään laskelmissa aina, kun on kyse jostain pyöreästä (tai lähes pyöreästä), kuten ympyröistä, palloista, lieriöistä, kartioista ja ellipseistä. Pi:n arvoa tarvitaan monien tärkeiden suureiden laskemiseen näistä muodoista, kuten ympyrän säteen ja sen kehän ja pinta-alan välisen suhteen ymmärtämiseen (kehä=2πr; pinta-ala=πr2).

Pi esiintyy myös laskelmissa, joilla määritetään ellipsin pinta-ala sekä pallon säde, pinta-ala ja tilavuus.

Maailmassamme on paljon pyöreitä ja lähes pyöreitä esineitä; pii:n tarkan arvon löytäminen auttaa meitä työskentelemään niiden kanssa tarkemmin - tai jopa valmistamaan tällaisia esineitä.

Aikaisemmin ihmisillä oli vain hyvin karkeat arviot piistä (kuten 3, 3,12 tai 3,16), ja vaikka he tiesivät, että nämä olivat arvioita, heillä ei ollut aavistustakaan, kuinka kaukana ne saattoivat olla.

Piin tarkan arvon etsiminen johti paitsi suurempaan tarkkuuteen myös uusien käsitteiden ja tekniikoiden, kuten raja-arvojen ja iteratiivisten algoritmien, kehittämiseen, joista tuli perustavanlaatuisia uusilla matematiikan aloilla.

Pi:n todellisen arvon löytäminen

Arkhimedeen kuva: André Thévet (1584).

Tuhannen ja neljän tuhannen vuoden välillä ihmiset käyttivät pi:n arvosta likiarvoja, jotka saatiin kokeilemalla ja erehtymällä, tekemättä mitään laskelmia mahdollisten virheiden huomioon ottamiseksi. Ensimmäiset kirjalliset likiarvot pi:n arvosta ovat 3,125 Babyloniassa (1900-1600 eKr.) ja 3,1605 muinaisessa Egyptissä (1650 eKr.). Molemmat likiarvot alkavat luvulla 3,1 - joka on hyvin lähellä todellista arvoa, mutta silti suhteellisen kaukana.

Noin vuonna 265 jKr. kiinalainen matemaatikko Liu Hui loi iteratiivisen algoritmin, joka perustui yksinkertaisiin monikulmioihin. Hän ehdotti erittäin nopeaa ja tehokasta approksimointimenetelmää, jolla saatiin neljä tarkkaa numeroa pi:n arvolle. Myöhemmin, noin vuonna 480 jKr. Zu Chongzhi otti Liu Huin menetelmän käyttöönsä ja saavutti seitsemän numeron tarkkuuden. Liu Huin ennätys säilyi vielä 800 vuotta.

Arkhimedeen menetelmä pi:n laskemiseksi sisälsi monikulmioita, joissa oli yhä enemmän sivuja. Kuva: Leszek Krupinski, CC BY-SA.

Vuonna 1630 itävaltalainen tähtitieteilijä Christoph Grienberger sai tulokseksi 38 numeroa, joka on tarkin manuaalisesti monikulmioalgoritmeilla saatu likiarvo.

Polygoneja pidemmälle

Liu Hui käytti myös monikulmioita, mutta hieman eri tavalla. Kuva: Gisling ja Pbroks13, CC BY-SA.

Äärettömien sarjojen tekniikoiden kehittyminen 1500- ja 1600-luvuilla lisäsi huomattavasti ihmisten kykyä laskea pii tehokkaammin. Ääretön sarja on äärettömän sarjan, kuten ½, ¼, 1/8, 1/16, ... 1 / (2n), termien summa (tai paljon harvinaisemmin tuote). Ensimmäinen kirjallinen kuvaus äärettömästä sarjasta, jota voitiin käyttää piin laskemiseen, esiteltiin kirjassaIntialaisen tähtitieteilijä Nilakantha Somayajin noin vuonna 1500 jKr. kirjoittama sanskritin säe, jonka todiste esitettiin noin vuonna 1530.

Vuonna 1665 englantilainen matemaatikko ja fyysikko Isaac Newton käytti ääretöntä sarjaa laskeakseen piin 15 numeron tarkkuudella hänen ja saksalaisen matemaatikon Gottfried Wilhelm Leibnizin keksimällä laskentamenetelmällä. Sen jälkeen ennätys rikkoutui jatkuvasti. Vuonna 1699 se saavutti 71 numeroa, vuonna 1706 100 numeroa ja vuonna 1956 620 numeroa, mikä on paras ilman laskinta tai tietokonetta saavutettu likiarvo.

Sir Isaac Newton. Kuva: Wellcome Trust, CC BY.

Näiden laskutoimitusten yhteydessä matemaatikot tutkivat myös muita piin ominaisuuksia. Sveitsiläinen matemaatikko Johann Heinrich Lambert (1728-1777) todisti ensimmäisenä, että pii on irrationaaliluku - siinä on ääretön määrä numeroita, jotka eivät koskaan muodostu toistuvaksi kuvioksi. Vuonna 1882 saksalainen matemaatikko Ferdinand von Lindemann osoitti, että piitä EI VOIDA ilmaista rationaalisella algebrallisella yhtälöllä.(esimerkiksi pi² = 10 tai 9pi4 - 240pi2 + 1492 = 0).

Kohti yhä useampia pi:n numeroita

Laskutoimitusten suuri kasvu jopa useampaan pii:n numeroon tapahtui sen jälkeen, kun otettiin käyttöön iteratiiviset algoritmit, jotka toistuvasti rakentavat päivitetyn arvon edellisestä arvosta tehdyn laskutoimituksen avulla. Yksinkertainen esimerkki iteratiivisesta algoritmista mahdollistaa 2:n neliöjuuren likimääräisen laskennan kaavalla (x + 2 / x) / 2. Tämä algoritmi on myös hyvin yksinkertainen:

Carl Louis Ferdinand von Lindemann.

(2+2/2)/2 = 1,5;

(1.5+2/1,5)/2 = 1,4167;

(1,4167+ 2/1,4167)/2 = 1,4142, mikä on jo hyvin tarkka approksimaatio.

Edistystä kohti useampia pii-lukuja tapahtui, kun elektronisissa tietokoneissa (jotka keksittiin 1900-luvun puolivälissä) käytettiin Machinin algoritmia (englantilaisen matemaatikon John Machinin vuonna 1706 kehittämän kaavan yleistys) ja Gauss-Legendren algoritmia (1700-luvun loppupuolella) muistuttavaa algoritmia. Vuonna 1946 ENIAC, ensimmäinen yleiskäyttöinen elektroninen tietokone, laski 2,037 millimetriä.Tuoreemman laskelman mukaan 208 päivässä saatiin yli 13 triljoonaa pii-lukua!

On yleisesti hyväksytty, että useimmissa piitä sisältävissä numeerisissa laskutoimituksissa kymmenkunta numeroa on riittävä tarkkuus. Matemaatikkojen Jörg Arndtin ja Christoph Haenelin mukaan 39 numeroa riittää useimpien kosmologisten laskutoimitusten suorittamiseen, koska tämä on tarkkuus, jota tarvitaan laskettaessa kaikkea havaittavissa olevan maailmankaikkeuden ympärysmitasta atomin halkaisijaan. LisäksiPi:n useammasta numerosta ei myöskään ole käytännön hyötyä laskennassa, vaan nykyään pi:n useampia numeroita etsitään supertietokoneiden ja numeerisen analyysin algoritmien testaamiseen.

Pi:n laskeminen itse

On myös hauskoja ja yksinkertaisia menetelmiä pi:n arvon arvioimiseksi. Yksi tunnetuimmista on menetelmä nimeltä "Monte Carlo".

Neliö, jossa on ympyrä

Menetelmä on melko yksinkertainen. Jos haluat kokeilla sitä kotona, piirrä paperille ympyrä ja sen ympärille neliö (kuten kuvassa vasemmalla). Kuvittele, että neliön sivut ovat pituudeltaan 2, joten sen pinta-ala on 4. Ympyrän läpimitta on siis 2, ja sen pinta-ala on pi (A= πr2, (π.(2)2 )/4, jolloin saadaan π). Niiden pinta-alojen suhde on pi / 4 eli noin 0,7854.

Tämä tarkoittaa sitä, että jos valitset satunnaisesti N pistettä neliön sisällä, noin N * pi / 4 näistä pisteistä on oltava ympyrän sisällä.

Tai toisin sanoen: sulje silmäsi ja aseta pisteitä satunnaisesti neliöön. Jos teet tämän tarpeeksi monta kertaa ja jos yrityksesi ovat todella satunnaisia, lopulta prosenttiosuus, jolla pisteesi osuu ympyrän sisälle, lähestyy 78,54 prosenttia eli 0,7854:ää.

Tämä ohjelma valitsee satunnaisesti pisteitä neliön sisältä ja tarkistaa, onko piste ympyrän sisällä (se tietää, että se on ympyrän sisällä, jos x 2+ y 2 Mutta jos et halua käyttää edellä mainittua ohjelmaa, pudota kynä satunnaisesti taulun sisälle ja laske, kuinka monta kertaa se putosi ympyrän sisälle ja kuinka monta pistettä valittiin (pistemäärä).

Pi lasketaan tällöin likimääräisesti seuraavasti:

4*M

Pi = ---

N

Vaikka Monte Carlo -menetelmä on usein hyödyllinen sellaisten fysiikan ja matematiikan ongelmien ratkaisemisessa, joita ei voida ratkaista analyyttisin keinoin, se on melko hidas menetelmä pi:n laskemiseen. Jokaisen merkitsevän numeron laskemiseksi on tehtävä noin 10 kertaa enemmän kokeita kuin edellisen merkitsevän numeron laskemiseksi.

Joka tapauksessa, nyt olet liittynyt niiden matemaatikkojen joukkoon, jotka ovat laskeneet pii pro itsensä kautta aikojen.