Ο αριθμός που αντιπροσωπεύεται από το π (π) χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς κάθε φορά που πρόκειται για κάτι στρογγυλό (ή σχεδόν στρογγυλό), όπως οι κύκλοι, οι σφαίρες, οι κύλινδροι, οι κώνοι και οι ελλείψεις. Η τιμή του π είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό πολλών σημαντικών μεγεθών σχετικά με αυτά τα σχήματα, όπως η κατανόηση της σχέσης μεταξύ της ακτίνας ενός κύκλου και της περιφέρειας και του εμβαδού του (περιφέρεια=2πr- εμβαδόν=πr2).

Το π εμφανίζεται επίσης στους υπολογισμούς για τον προσδιορισμό του εμβαδού μιας έλλειψης και για την εύρεση της ακτίνας, της επιφάνειας και του όγκου μιας σφαίρας.

Ο κόσμος μας περιέχει πολλά στρογγυλά και σχεδόν στρογγυλά αντικείμενα- η εύρεση της ακριβούς τιμής του π μας βοηθά να τα χειριστούμε με μεγαλύτερη ακρίβεια - ή ακόμη και να κατασκευάσουμε τέτοια αντικείμενα.

Ιστορικά, οι άνθρωποι είχαν μόνο πολύ πρόχειρες εκτιμήσεις για το π (όπως 3, ή 3,12, ή 3,16), και ενώ ήξεραν ότι αυτές ήταν εκτιμήσεις, δεν είχαν ιδέα πόσο μακριά μπορεί να απέχουν.

Η αναζήτηση της ακριβούς τιμής του π οδήγησε όχι μόνο σε μεγαλύτερη ακρίβεια, αλλά και στην ανάπτυξη νέων εννοιών και τεχνικών, όπως τα όρια και οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι, που έγιναν θεμελιώδεις για νέους τομείς των μαθηματικών.

Εύρεση της πραγματικής τιμής του pi

Αρχιμήδης. Εικόνα: André Thévet (1584)

Μεταξύ 3.000 και 4.000 ετών πριν, οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν προσεγγίσεις της τιμής του π που προέκυψαν από δοκιμή και λάθος, χωρίς να κάνουν υπολογισμούς για να λάβουν υπόψη τους τα πιθανά σφάλματα. Οι πρώτες γραπτές προσεγγίσεις της τιμής του π είναι 3,125 στη Βαβυλώνα (1900-1600 π.Χ.) και 3,1605 στην αρχαία Αίγυπτο (1650 π.Χ.). Και οι δύο προσεγγίσεις ξεκινούν με 3,1 - πολύ κοντά στην πραγματική τιμή, αλλά ακόμα σχετικά μακριά.

Γύρω στο 265 μ.Χ., ο Κινέζος μαθηματικός Liu Hui δημιούργησε έναν επαναληπτικό αλγόριθμο βασισμένο σε απλά πολύγωνα. Πρότεινε μια πολύ γρήγορη και αποτελεσματική μέθοδο προσέγγισης, η οποία έδωσε τέσσερα ακριβή ψηφία στην τιμή του π. Αργότερα, γύρω στο 480 μ.Χ., ο Zu Chongzhi υιοθέτησε τη μέθοδο του Liu Hui και πέτυχε ακρίβεια επτά ψηφίων. Αυτό το ρεκόρ του Liu Hui διήρκεσε για άλλα 800 χρόνια.

Η μέθοδος του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του π περιλάμβανε πολύγωνα με όλο και περισσότερες πλευρές. Εικόνα: Leszek Krupinski, CC BY-SA

Το 1630, ο Αυστριακός αστρονόμος Christoph Grienberger κατέληξε σε 38 ψηφία, που είναι η ακριβέστερη προσέγγιση που έχει επιτευχθεί με το χέρι χρησιμοποιώντας πολυγωνικούς αλγορίθμους.

Πέρα από τα πολύγωνα

Η μέθοδος του Liu Hui για τον υπολογισμό του π χρησιμοποιούσε επίσης πολύγωνα, αλλά με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο. Εικόνα: Gisling και Pbroks13, CC BY-SA

Η ανάπτυξη των τεχνικών των άπειρων σειρών κατά τον 16ο και 17ο αιώνα αύξησε σημαντικά την ικανότητα των ανθρώπων να υπολογίζουν το π πιο αποτελεσματικά. Μια άπειρη σειρά είναι το άθροισμα (ή πολύ λιγότερο συχνά, το γινόμενο) των όρων μιας άπειρης ακολουθίας, όπως ½, ¼, 1/8, 1/16, ... 1 / (2n). Η πρώτη γραπτή περιγραφή μιας άπειρης σειράς που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του π παρουσιάστηκε στοΣανσκριτικός στίχος του Ινδού αστρονόμου Nilakantha Somayaji γύρω στο 1500 μ.Χ., η απόδειξη του οποίου παρουσιάστηκε γύρω στο 1530.

Το 1665, ο Άγγλος μαθηματικός και φυσικός Ισαάκ Νεύτων χρησιμοποίησε άπειρες σειρές για να υπολογίσει το π με 15 ψηφία χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπολογισμού που ανακάλυψε ο ίδιος και ο Γερμανός μαθηματικός Gottfried Wilhelm Leibniz. Μετά από αυτό, το ρεκόρ συνέχισε να καταρρίπτεται. Έφτασε τα 71 ψηφία το 1699, τα 100 ψηφία το 1706 και τα 620 ψηφία το 1956 - η καλύτερη προσέγγιση που επιτεύχθηκε χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής ή υπολογιστή.

Sir Isaac Newton. Εικόνα: Wellcome Trust, CC BY

Σε συνδυασμό με αυτούς τους υπολογισμούς, οι μαθηματικοί ερευνούσαν και άλλα χαρακτηριστικά του π. Ο Ελβετός μαθηματικός Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (1728-1777) απέδειξε πρώτος ότι το π είναι ένας ανορθολογικός αριθμός - έχει έναν άπειρο αριθμό ψηφίων που δεν μπαίνουν ποτέ σε ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Το 1882, ο Γερμανός μαθηματικός Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ να εκφραστεί σε μια ορθολογική αλγεβρική εξίσωση.(όπως π.χ. pi² = 10 ή 9pi4 - 240pi2 + 1492 = 0).

Προς όλο και περισσότερα ψηφία του pi

Μεγάλη ανάπτυξη των υπολογισμών σε ακόμη περισσότερα ψηφία του π ακολούθησε μετά την υιοθέτηση επαναληπτικών αλγορίθμων, οι οποίοι κατασκευάζουν επανειλημμένα μια ενημερωμένη τιμή χρησιμοποιώντας έναν υπολογισμό που πραγματοποιήθηκε στην προηγούμενη τιμή. Ένα απλό παράδειγμα επαναληπτικού αλγορίθμου επιτρέπει την προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 ως εξής, χρησιμοποιώντας τον τύπο (x + 2 / x) / 2:

Carl Louis Ferdinand von Lindemann.

(2+2/2)/2 = 1,5;

(1.5+2/1,5)/2 = 1,4167;

(1,4167+ 2/1,4167)/2 = 1,4142, που είναι ήδη μια πολύ ακριβής προσέγγιση.

Η πρόοδος προς την κατεύθυνση περισσότερων ψηφίων για το π ήρθε με τη χρήση ενός αλγορίθμου παρόμοιου με τον αλγόριθμο του Μάκιν (γενίκευση του τύπου του Άγγλου μαθηματικού Τζον Μάκιν που αναπτύχθηκε το 1706) και του αλγορίθμου Gauss-Legendre (τέλη 18ου αιώνα) στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές (που εφευρέθηκαν στα μέσα του 20ου αιώνα). Το 1946, ο ENIAC, ο πρώτος ηλεκτρονικός υπολογιστής γενικής χρήσης, υπολόγισε 2,037Ένας πιο πρόσφατος υπολογισμός βρήκε περισσότερα από 13 τρισεκατομμύρια ψηφία του π σε 208 ημέρες!

Έχει γίνει ευρέως αποδεκτό ότι για τους περισσότερους αριθμητικούς υπολογισμούς που περιλαμβάνουν το π, δώδεκα ψηφία παρέχουν επαρκή ακρίβεια. Σύμφωνα με τους μαθηματικούς Jörg Arndt και Christoph Haenel, 39 ψηφία αρκούν για την εκτέλεση των περισσότερων κοσμολογικών υπολογισμών, επειδή αυτή είναι η ακρίβεια που απαιτείται για τον υπολογισμό των πάντων, από την περιφέρεια του παρατηρήσιμου σύμπαντος μέχρι τη διάμετρο ενός ατόμου. ΕπιπλέονΕπιπλέον, τα περισσότερα ψηφία του π δεν έχουν πρακτική χρησιμότητα στους υπολογισμούς- αντίθετα, σήμερα η αναζήτηση περισσότερων ψηφίων του π γίνεται για τη δοκιμή υπερυπολογιστών και αλγορίθμων αριθμητικής ανάλυσης.

Υπολογίζοντας το pi μόνοι σας

Υπάρχουν επίσης διασκεδαστικές και απλές μέθοδοι για την εκτίμηση της τιμής του π. Μία από τις πιο γνωστές είναι η μέθοδος που ονομάζεται "Monte Carlo".

Ένα τετράγωνο με εγγεγραμμένο κύκλο

Η μέθοδος είναι αρκετά απλή. Για να τη δοκιμάσετε στο σπίτι, σχεδιάστε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο γύρω του (όπως φαίνεται αριστερά) σε ένα κομμάτι χαρτί. Φανταστείτε ότι οι πλευρές του τετραγώνου έχουν μήκος 2, οπότε το εμβαδόν του είναι 4. Η διάμετρος του κύκλου είναι επομένως 2 και το εμβαδόν του είναι π (A= πr2, (π.(2)2 )/4, που προκύπτει π). Ο λόγος των εμβαδών τους είναι π / 4, ή περίπου 0,7854.

Αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξετε Ν σημεία τυχαία μέσα στο τετράγωνο, περίπου Ν * pi / 4 από αυτά τα σημεία πρέπει να εμπίπτουν στον κύκλο.

Ή για να το θέσουμε αλλιώς: κλείστε τα μάτια σας και τοποθετήστε τυχαία κουκκίδες στο τετράγωνο. Αν το κάνετε αυτό αρκετές φορές, και αν οι προσπάθειές σας είναι πραγματικά τυχαίες, τελικά το ποσοστό των περιπτώσεων που η κουκκίδα σας προσγειώνεται μέσα στον κύκλο θα πλησιάσει το 78,54% - ή 0,7854.

Αυτό το πρόγραμμα επιλέγει τυχαία σημεία μέσα στο τετράγωνο. Στη συνέχεια ελέγχει αν το σημείο βρίσκεται μέσα στον κύκλο (ξέρει ότι βρίσκεται μέσα στον κύκλο αν x 2+ y 2 Αλλά αν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε το παραπάνω πρόγραμμα, ρίξτε τυχαία το στυλό μέσα στον πίνακα και μετρήστε πόσες φορές έπεσε μέσα στον κύκλο και πόσοι πόντοι επιλέχθηκαν (σύνολο πόντων).

Στη συνέχεια, το Pi υπολογίζεται κατά προσέγγιση ως εξής:

4*M

Pi = ---

N

Αν και η μέθοδος Monte Carlo είναι συχνά χρήσιμη για την επίλυση προβλημάτων στη φυσική και τα μαθηματικά που δεν μπορούν να λυθούν με αναλυτικά μέσα, είναι μια μάλλον αργή μέθοδος υπολογισμού του π. Για τον υπολογισμό κάθε σημαντικού ψηφίου, θα πρέπει να γίνουν περίπου 10 φορές περισσότερες δοκιμές από ό,τι για τον υπολογισμό του προηγούμενου σημαντικού ψηφίου.

Τέλος πάντων, τώρα έχετε ενταχθεί στις τάξεις των μαθηματικών που έχουν υπολογίσει το π υπέρ του εαυτού τους ανά τους αιώνες.